Александр Васильевич Бурдонский родился 14 октября 1941 года в семье Василия Иосифовича Сталина и Бурдонской Галины Александровныи в Куйбышеве (Самара). Когда Александру было четыре года, его родители разошлись и он с сестрой остался с отцом. В 1951 году по воле отца Александр отправляется в Калининское суворовское училище.
После смерти Иосифа Сталина Александр Бурдонский вместе со своей сестрой Надеждой возвращается к матери. Многочисленные походы в театры укрепили желание юноши избрать профессию режиссера. После седьмого класса Александр Васильевич поступает в Театрально-техническое художественное училище, параллельно участвуя в самодеятельности в Доме пионеров в Тихвинском переулке. Позже Бурдонский поступил на актерский курс студии при театре “Современник” к Олегу Николаевичу Ефремову. Но и здесь Александра не покидало желание избрать режиссерскую стезю, на что Олег Ефремов говорил ему: “Чтобы овладеть профессией режиссера важно знать психологию актера”. В 1966 г. Александр Бурдонский поступил в ГИТИС (ныне РАТИ) на режиссерское отделение курса Марии Осиповны Кнебель.
Поступив в институт Александр одновременно экстерном заканчивает школу и получает аттестат зрелости.
По окончании ГИТИСа в 1971 г. Бурдонского приглашает Анатолий Эфрос в театр на Малой Бронной играть шекспировского Ромео. Спустя три месяца Мария Кнебель зовет с собой своего ученика в Театр Армии ставить спектакль “Тот, кто получает пощечину” Леонида Андреева. После осуществления этой постановки в 1972 г. главный режиссер ЦТСА Андрей Алексеевич Попов предложил А.В.Бурдонскому остаться в Театре Армии. Предложение было принято.
Помимо Театра Армии Александр Бурдонский поставил два спектакля в Малом театре и в Японии. Страна восходящего солнца увидела “Чайку” А.Чехова, “Вассу Железнову” М.Горького и “Орфей спускается в ад” Т.Уильямса.
Наряду с театром Александр Васильевич Бурдонский в течение десяти лет вместе с Элиной Быстрицкой преподавал в ГИТИСе (РАТИ).
Был женат на своей однокурснице Дале Тумалявичуте, которая работала главным режиссером Молодежного театра.